ARIS projekt J1-4632: »Parametrizirane družine čudnih atraktorjev predstavljene preko inverznih limit: študija z vidika topologije in teorije mere«
Vodilni partner: Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko
Vodja projekta: Jernej Činč
Trajanje projekta: januar 2023 – oktober 2025
Ostali člani projekta:
Namen projekta
Namen tega projekta je preučiti topološke, dinamične in ergodične vidike dvodimenzionalne paradigme kaosa, imenovane Hénonovi atraktorj, in konstruirati nove parametrizirane družine čudnih atraktorjev, ki se pojavljajo v diferenciabilinih dinamičnih sistemih. Kljub temu, da so Hénonovi atraktorji matematikom poznani že več kot 40 let, topologija teh atraktorjev še ni podrobno raziskana. Glavna ovira za tako študijo je bila pomanjkanje tehnik potrebnih za njeno izvedbo. Na podlagi nedavnega napredka pri opisovanju parametriziranih družin čudnih atraktorjev z upora inverznih mej se bomo poglobili v tako podrobno študijo in podali nove rezultate o topoloških, dinamičnih in ergodičnih lastnostih, ki se pojavljajo v parametriziranih družinah čudnih atraktorjev.
Cilji projekta
Cilji predlaganega projekta so povzeti v naslednjih treh globalnih problemih.
Naš prvi globalni problem predlaga, da konstruiramo novo dvoparametrsko družino atraktorjev in jo preučimo z uporabo obstoječih tehnik.
Problem 1: Konstruiraj in podrobno preuči topološke in mersko-teoretične vidike dvoparametrske družine čudnih atraktorjev induciranih iz standardne Arnol’dova družine endomorfizmov na krožnici, in vzpostavi povezavo s parametrizirano družino difeomorfizmov na anulusu.
Drugi globalni problem obravnava dobro znano družino Hénonovih atraktorjev. Zgleduje se po nedavno predstavljeni reprezentaciji tranzitivnih Hénonovih atraktorjev preko inverznih limit v članku od Borońskega in Štimaceve.
Problem 2: Opiši topologijo Hénonovih atraktorjev za parametre, kjer je Hénonova funkcija tranzitivna.
V generalnem našemo področju manjka razumevanje topoloških obstrukcij, ki dovoljujejo/preprečujejo obstoj določenih tipov homeomorfizmov na enodimenzionalnih kontinuumih. Zato predlagamo preučitev naslednjega problema.
Problem 3: Preuči vlogo topoloških obstrukcij v enodimenzionalnih kontinuumih, ki preprečujejo obstoj različnih tipov kaotičnih homeomorfizmih na njih.
Zadnji globalni problem je motiviran z nedavnim napredkom Oproche in vodje projekta, kjer sva konstruirala nenavadno parametrizirano družino planarnih homeomorfizmov, ki imajo bogato dinamično obnašanje na atraktorjih, vendar so vsi atraktorji homeomorfni edinstvenemu topološkemu prostoru, imenovanemu psevdolok. Končni globalni problem sprašuje o podobnih rezultatih kot v omenjenem projektu za difeomorfizme namesto homeomorfizmov.
Problem 4: Preuči vlogo psevdoloka in psevdokrožnice v parametriziranih družinah čudnih atraktorjev, pridobljenih iz diferenciabilnih dinamičnih sistemov.
Financiranje:
Projekt financira ARIS, Javna agencija za znanstvenoraziskovalno in inovacijsko dejavnost Republike Slovenije, financiranja znaša 100.000 €/leto.
Vmesni rezultati projekta
V sklopu Problema 1 so bili vzpostavljeni temelji za raziskovanje Markovskih funkcij [1’], kar bo služilo k vzpostavitvi topološke klasifikacije inverznih limit Markovskih funkcij z parametri, ki imajo periodične kritične orbite. Ta smer raziskovanja je nadeljevana s strani vodje projekta, Črepnjaka in Kacove. Vložitve samih atraktorjev so trenutno študirane s strani vodje projekta v navezi z Janom Borońskim (Jeggielonska Univerza) [2’’’].
V sklopu Problema 2 je trenutno v zadnji fazi priprave obsežen članek vodje projekta skupaj z Ano Anušić (Nippissing Univerza) in Andréjem de Carvalhom (Univerza v São Paulu) [1’’’]. Ta del projekta predstavlja zaključek prvega dela raziskav v tem ciljnem sklopu. Drugi ciljni sklop vodja projekta trenutno raziskuje skupaj z Janom Borońskim (Jeggielonska Univerza) in Sonjo Štimac (Univerza v Zagrebu) [3’’’]. V povezavi s homeomorfnostjo inverznih limit in Henońovih atraktorjev je bil tudi publiciran članek [7] kjer sta avtorja karakterizirala homeorfnost inverznih limit na kompaktnih metričnih prostorih preko komutativnih diagramov. To predstavlja pomemben korak k dokazovanju klasifikacije Henońovih atraktorjev.
V sklopu Probelma 3 je bilo narejeno že večino zadanega dela, vodja projekta je raziskoval rigidnost funkcij na biljardnih mizah [5], medtem ko so preostali člani skupine delali na razvoju nove teorije, ki bo pomagala napredovati v tem ciljem sklopu. Banič in ostali [1,2,3,4,6,2’,3’,1’’,2’’,3’’] so raziskovali pojavljanje različnih vrst kaotičnih homeomorfizmov na Lelekovi pahljači in generalno na pahljačah. Naj poudarimo, da je v člankih [4, 2’, 3’] soavtor magistrski študent Rene Gril Rogina, ki je bil delno financiran s strani trenutnega projekta. Ta del programa predstavlja pomemben korak k razumenvanju rigidnosti in dinamike homeoorfizmov na dedno razcepnih enodimenzionalnih kontinuumih. Po drugi strani je vodja projekta skupaj z Udayanem Darjijem (Univerza v Louisvilleu) in Benjamina Vejnara (Karlova Univerza v Pragi) dokazal da se vsak homeomorfizem iz Cantorjeve množice prenese na homeomorfizem Lelekove pahljače, kar predstavlja znaten napredek v tej smeri raziskovanja [4’’’]. Omenjeni članek je v zadnjih fazah priprave da bo poslan v publikacijo. V tem sklopu je vodja projekta tudi dokončal projekt, ki preučuje funkcije z gosto periodičnostjo, ki služijo kot paradigma kaosu [4’’]. Vodja projekta je v tem času napisal tudi povzetno raziskavo trenutnih rezultatov, ki obstajajo na nazadnje omenjenem področju [4’]. Na krožnici je vodja projekta s soavtorji raziskoval fleksibilnost endomorfizmov na krožnici v članku [5’].
V sklopu Problema 3 in Problema 4 je bil modificiran in dokončan članek, ki dokaže 30-let staro Bargeovo domnevo o fleksibilnosti homeomorfizmov na psevdo-loku [5’’]. Ta rezultat je pomemben za nadaljevanje 4.) kjer vodja projekta trenutno dela na projektu skupaj z Piotrom Oprochu (AGH Krakow) in Tobyem Hallom (Univerza v Liverpoolu), kjer omenjeni raziskovalci poskušajo konstruirati parametrizirano družino neskončno odvedljivih difeomorfizmov v tridimezionalnem prostoru, ki so vsi homeomorfni psevdo-loku in imajo bogato dinamiko. V sklopu cilja 4.) je vodja projekta skupaj z Piotrom Oprocho (AGH Krakow) konstruiral parametrizirano družino homeomorfizmov v ravnini z psevdo-krožnicami kot atraktorji, ki imajo bogato dinamiko [6’’]. Rezulati v zadnjem članku analizirajo družino tudi s perspektive teorije mere.
REFERENCE:
Objavljeni članki:
[1] Banič, I., Erceg, G., Greenwood, S., & Kennedy, J. A. (2023). Transitive points in CR-dynamical systems. Topology and its Applications, 326(108407), 31. doi:10.1016/j.topol.2023.108407 COBISS: https://plus.cobiss.net/cobiss/si/sl/bib/150126083
[2] Banič, I., Erceg, G., & Kennedy, J. A. (2023). The Lelek fan as the inverse limit of intervals with a single set-valued bonding function whose graph is an arc. Mediterranean journal of mathematics, 20(3, 159), 24. https://dk.um.si/IzpisGradiva.php?id=87388 COBISS: https://plus.cobiss.net/cobiss/si/sl/bib/148424195
[3] Banič, I., Erceg, G., & Kennedy, J. A. (2023). A transitive homeomorphism on the Lelek fan. Journal of difference equations and applications, 29(4), 393–418. doi:10.1080/10236198.2023.2208242 COBISS: https://plus.cobiss.net/cobiss/si/sl/bib/151598851
[4] Banič, I., Gril Rogina, R., Kennedy, J. A., & Nall, V. (2024). Sufficient conditions for non-zero entropy of closed relations. Ergodic theory & dynamical systems, 29. doi:10.1017/etds.2024.11 COBISS: https://plus.cobiss.net/cobiss/si/sl/bib/188433667
[5] Činč, J., & Troubetzkoy, S. (2023). An upper bound on topological entropy of the Bunimovich stadium billiard map. Journal of statistical physics, 190(8,148), 15pp. doi:10.1007/s10955-023-03142-2, COBISS: https://plus.cobiss.net/cobiss/si/sl/bib/162535683
[6] Črepnjak, M., & Kac, T. (2023). Uncountable family of 0-rigid continua that are homeomorphic to their inverse limits. Qualitative theory of dynamical systems, 22(2, [ ] 80), 13. https://dk.um.si/IzpisGradiva.php?id=87542 COBISS: https://plus.cobiss.net/cobiss/si/sl/bib/150129923
[7] Črepnjak, M., & Sovič, T. (2024). Characterizing inverse sequences for which their inverse limits are homeomorphic. Acta mathematica Hungarica, 172(ǂǂ1), 42–61. doi:10.1007/s10474-024-01394-2 COBISS: https://plus.cobiss.net/cobiss/si/sl/bib/188657411
Sprejeti članki:
[1’] Banič, I., Črepnjak, M., Kac, T., Markov set-valued functions on compact metric spaces. Sprejeto v Glasnik Matematički, 2023, https://web.math.pmf.unizg.hr/glasnik/forthcoming/pGM7004.pdf
[2’] Banič, I., Erceg, G., Gril Rogina, R., Kennedy, J., Minimal dynamical systems with closed relations, sprejeto v Glasnik Matematički (https://web.math.pmf.unizg.hr/glasnik/forthcoming/pGM7135.pdf) 2024.
[3’] Banič, I., Gril Rogina, R., Kennedy, J., An embedding of the Cantor fan into the Lelek fan, sprejeto v Rad HAZU (https://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/radhazumz/preprints/banic-erceg-kennedy-preprint.pdf) 2024.
[4’] Bobok, J., Činč, J., Oprocha, P., Troubetzkoy, S., Continuous Lebesgue measure-preserving maps on one-dimensional manifolds: a survey, sprejeto v Topology and its Applications, March 2023.
[5’] Bobok, J., Činč, J., Oprocha, P., Troubetzkoy, S., Are generic dynamical properties stable under composition with rotations?, arxiv:2207.07186, sprejeto v Proceedings of the American Mathematical Society 2024.
Članki poslani v objavo:
[1’’] Banič, I., Erceg, G., Kennedy, J. A., Mouron, C., Nall, V., Transitive mappings on the Cantor fan, arXiv:2304.03350, April 2023.
[2’’] Banič, I., Erceg, G., Kennedy, J. A., Mouron, C., Nall, V., An uncountable family of smooth fans that admit transitive homeomorphisms, arXiv:2309.04003v1, September 2023.
[3’’] Banič, I., Kennedy, J. A., Mouron, C., Nall, V., An uncountable family of non-smooth fans that admit transitive homeomorphisms, arXiv:2310.08711, October 2023.
[4’’’] Bobok, J., Činč, J., Oprocha, P., Troubetzkoy, S., Interval maps with dense periodicity, arXiv:2402.05638, February 2024.
[5’’] Činč, J., Boroński, J., Oprocha, P. Beyond 0 and infinity: a solution to the Barge entropy conjecture, arXiv:2105.11133, September 2023 (Appendix written by George Kozlowski).
[6’’] Činč, J., Oprocha, P. Parameterized family of annular homeomorphisms with pseudo-circle attractors, arXiv:2305.06467, May 2023.
